crystal base論は量子群 $U_q$ の $q = 0$ の表現論として、構築されたものです。この記事では、箱玉系(ball-box system)の基本的な要素であるcrystalという代数構造と組み合わせ数Rについて量子群 $U_q(sl_{n+1})$ の場合について説明します。

1. Crystalの定義

$U_q = U_q(sl_{n+1})$ のcrystalの定義をします。 $I$ を添え字集合とします。crystal $B$ とは、集合 $B$ と写像

$\begin{aligned} wt:B \rightarrow \bar{P} \\ \tilde{e_i}, \tilde{f_i}:B \rightarrow B \cup \{ 0 \} \\ \varepsilon _i, \varphi _i : B \rightarrow \mathbb{Z} _{\geq 0} (i \in \bar{I}) \end{aligned}$

の集まりで以下の性質を満たすものです。

$b \in B$ かつ $\tilde{e_i}b \in B$ ならば $wt(\tilde{e_i}b) = wt(b) + \alpha_i$
$b \in B$ かつ $\tilde{f_i}b \in B$ ならば $wt(\tilde{f_i}b) = wt(b) - \alpha_i$
$\varphi _i(b) = max ｛ m \geq 0 | \tilde{f_i} ^m (b) \neq 0 ｝$
$\varepsilon _i(b) = max ｛ m \geq 0 | \tilde{e_i} ^m (b) \neq 0 ｝$
$\varphi _i(b) - \varepsilon_i(b) = ( h_i, wt(b))$
$\tilde{e_i}(0) = \tilde{f_i}(0) = 0$
$b, b' \in B$ ならば $b'=\tilde{f_i}(b)$ と $b=\tilde{e_i}(b')$ は同値

$wt(b)$ を $b$ のウェイトといいます。 $\tilde{e_i},\tilde{f_i}$ を柏原作用素といいます。その作用、すなわち、7.の状況を $b \xrightarrow{i} b'$ と表し、これを頂点 $b$ から $b'$ へ向かう「色」 $i$ の矢印と見立てれば、 $B$ は色付き有向グラフとして図示されます。これをcrystalグラフといいます。crystalグラフの一つの頂点から色 $i$ の矢印は1つ出るか( $\tilde{f_i} \neq 0$ )、出てないか( $\tilde{f_i} = 0$ )のどちらかです。同様に、7.により、各頂点には色 $i$ の矢印は1つ入るか( $\tilde{e_i} \neq 0$ )、入らないか( $\tilde{e_i} = 0$ )のどちらかです。

例

$U_q (sl_2)$ の例を挙げます。この時 $\alpha_1 = 2 \bar{\Lambda}$ です。

$B(\bar{\Lambda_1})$
$B(\bar{\Lambda_1})$ のcrystalグラフは次のように表されます。
$\fbox{1} \xrightarrow{1} \fbox{2}$
$B(2\bar{\Lambda_1})$
$B(\bar{\Lambda_1})$ のcrystalグラフは次のように表されます。
$\fbox{1}\fbox{1} \xrightarrow{1} \fbox{1}\fbox{2} \xrightarrow{1} \fbox{2}\fbox{2}$

q=0の場合（箱玉系の場合に相当）

$q=0$ に絞ると上の定義は少し簡単にできます。 $I$ を添え字集合とします。この時crystal $B$ とは、集合 $B$ と写像 $\tilde{e_i}, \tilde{f_i}:B \rightarrow B \cup { 0 }$ の集まりで、以下の性質を満たすものです。
任意の $b \in B$ と任意の $i \in I$ に対して、 $\tilde{e_i}^n(b) = \tilde{f_i} ^n(b) = 0$ を満たす $n > 0$ が存在する。
$\tilde{e_i}(0) = \tilde{f_i}(0) = 0$
$b_1,b_2 \in B$ に対して、 $\tilde{f_i}(b_1) = b_2$ が成り立つことと、 $\tilde{e_i} (b_2) = b_1$ が成立することは等しい。
（ウェイト( $wt$ )に関する部分の定義を省きました。）
また、 $b \in B$ に対して、

$\begin{aligned} \varepsilon _i(b) = max ｛ m \geq 0 | \tilde{e_i} ^m (b) \neq 0 ｝\\ \varphi _i(b) = max ｛m \geq 0 | \tilde{f_i} ^m (b) \neq 0 ｝ \end{aligned}$

を定めます。
箱玉系を構成するにあたって、 $\hat{sl} _ {n+1}$ と結びついている、crystal $B _ l$ を使います。そして $n \in \mathbb{Z} _ {1 \leq n}$ のもとで、 $I=｛0,1,...,n｝$ をとります。
この時集合 $B_l$ は、次のようにして与えられます。

$\begin{aligned} B_l = \left\{ (x _ 1,..., x _ {n+1} ) \in \mathbb{Z} ^ {n+1} | x _ i \geq 0, \sum ^ {n+1} _ {i=1} x _ i = l) \right\} \end{aligned}$

$B_l$ の各元は、ヤング盤によっても表現することができます。それぞれの $x=(x _ 1,...,x _ {n+1}) \in B _ l$ について、長さ $l$ の一列の半標準盤を対応させられます。例えば、 $n=2,l=2$ とすると、そのcrystalは、

$\begin{aligned} B_2 = \left\{ (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) \right\} \end{aligned}$

となります。これはヤング盤では、
$B_2=｛$ [1][1], [2][2], [3][3], [1][2], [1][3], [2][3]　 $｝$ と表せます。（各マスがボールを表していて、マスの中の数字が、対応するボールは今何マス目にいるのかということを表しています。） $B_l$ は、l-foldの対象テンソル表現の基底のラベリングした集合です。
$x=(x _ 1,...,x _ {n+1}) \in B _ l$ で $\tilde{e_i},\tilde{f_i}:B _ l \rightarrow B _ l \cup \{ 0 \} (0 \leq i \leq n)$ を

$\begin{aligned} \tilde{e_i}(x) = (...,x _ i+1,x \ {i+1} -1,...), \tilde{f_i}(x) = (...,x _ i -1,x _ {i+1} +1) \end{aligned}$

で定める写像とします。これらの写像は $B_l$ から $B_l$ に移るか、あるいはそれ以外のところに移ります。それ以外のところに移った時、 $\{ 0 \}$ に移ったと解釈します。
[tex:\varepsilon i(b),\varphi i(b) :B \rightarrow \mathbb{Z} (0 \leq i \leq n)]は、その定義により、 $x=(x _ 1,...,x _ {n+1}) \in B _ l$ で $\tilde{e_i},\tilde{f_i}:B _ l \rightarrow B _ l \cup \{ 0 \} (0 \leq i \leq n)$ を

$\begin{aligned} \varepsilon _i(x) = x _ {i+1},\varphi _i(x) = x _ i \end{aligned}$

のように表せます。（[tex:\varepsilon i(x)]は、[tex:\varepsilon i ^ m (x)]が0にならないように作用させ続けられる最大の回数を $m$ 表します。）
さて、任意の2つのcrystal $B,B'$ に対して、テンソル積を定義することができます。集合としては、 $B \otimes B'$ は直積となります。しかし、これは crystal構造を保っています。任意の $(x,y) \in B \times B'$ について、 $B \otimes B'$ の要素として、 $x \otimes y$ をとることができます。 $x \otimes 0 = 0 \otimes y = 0$ とします。
$x \otimes y \in X \otimes X'$ に対して、写像[tex:\varepsilon i(x),\varphi i(x),\tilde{e_i}(x), \tilde{f_i}(x)]は次のようにして与えられます。

$\begin{aligned} \varepsilon _i(x \otimes y) = \varepsilon _ i(x) + ( \varepsilon _i(y) - \varphi _i(y)) _ + \\ \varphi _i(x\otimes y) = \varphi _i(x) + (\varphi _i(y) - \varepsilon _i(y)) _ + \\ \\ \tilde{e_i}(x\otimes y) = \left\{ \begin{array} \tilde{e_i}(x) \otimes y 　\mbox{if}　 \varphi _i(x) \geq \varepsilon _i(y) \\ x \otimes \tilde{e_i}(y) 　\mbox{if} 　\varphi _i(x) < \varepsilon _i(y) \end{array} \right. \\ \\ \tilde{f_i}(x\otimes y) = \left\{ \begin{array} \tilde{f_i}(x) \otimes y 　\mbox{if}　 \varphi _i(x) > \varepsilon _i(y) \\ x \otimes \tilde{f_i}(y) 　\mbox{if} 　\varphi _i(x) \leq \varepsilon _i(y) \end{array} \right. \\ \end{aligned}$

ただし、 $(x)_+ = max(x,0)$ とします。
このように定義してあげると、テンソル積は、crystalの定義を満たします。 (実際に1.~3.が成立します)
この構成方法を複数回用いることで、（テンソル積は結合法則が成り立つため）2つよりも多いcrystalのテンソル積も定義することができます。
crystalは、crystalグラフといわれる色付き有向グラフで表現することができます。
以下の図では、 $\tilde{f_i}$ を $\xrightarrow{i}$ で表しています。公理3.より、 $\tilde{f_i}$ と $\tilde{e_i}$ は等価であるので、 $\tilde{f_i}$ についてのみ表します。

例

$B_1$
[1] $\xrightarrow{1}$ [2] $\xrightarrow{0}$ [1]
$B_2$
[1][1] $\xrightarrow{1}$ [1][2] $\xrightarrow{1}$ [2][2] $\xrightarrow{0}$ [1][2] $\xrightarrow{0}$ [1][1]
$B_1 \otimes B_2$
[1] $\otimes$ [1] $\xrightarrow{1}$ [2] $\otimes$ [1] $\xrightarrow{1}$ [2] $\otimes$ [2] $\xrightarrow{0}$ [1] $\otimes$ [1] $\xrightarrow{0}$ [1] $\otimes$ [1]

2. 組み合わせ $R$

一般にcrystal $B \otimes B'$ と $B' \otimes B$ は同じ構造をしています。（同型です。） 組み合わせ $R$ とは、柏原演算子の作用で結びつけられた $B \otimes B'$ と $B' \otimes B$ の間の全単射のことです。言い換えると、組み合わせ $R$ は次のような関係を満たす写像 $B \otimes B' \rightarrow B' \otimes B$ のことを指します。

$\begin{aligned} R(\tilde{e_i}(x \otimes y)) = \tilde{e_i}( R(x \otimes y)),　 R(\tilde{f_i}(x \otimes y)) = \tilde{f_i}( R(x \otimes y)) \\ (2.1) \end{aligned}$

特殊な場合を除き、組み合わせ $R$ は上の条件を課すことで一意に決まることが知られています。
定義より、 $R _ {BB'} \circ R _ {B`B} = Id _ {B \otimes B'}$ が成立します。

$\hat{sl} _ {n+1}$ crystal 組み合わせ $R$ に対して、区分線形な式が存在します。与えられた $x = (x _ 1,...,x _ {n+1}),y=(y _ 1,...,y _ {n+1}) \in \mathbb{Z} ^ {n+1}$ に対して、 $\tilde{x} = (\tilde{x} _ 1,...,\tilde{x} _ {n+1}),\tilde{y}=(\tilde{y} _ 1,...,\tilde{y} _ {n+1}) \in \mathbb{Z} ^ {n+1}$ を次のように定めます。

$\begin{aligned} \tilde{x} _ i = x _ i - P _ i(x,y) + P _ {i-1}(x,y), \\　 \tilde{y} _ i = y _ i + P _ i(x,y) - P _ {i-1}(x,y), \\ P _ i(x,y) = \max _ {1 \leq k \leq n+1} \left( \sum _ {j=k} ^ {n+1} x _ {i+j} + \sum _ {j=1} ^ {k} y _ {i+j} \right) \\ (2.2) \end{aligned}$

命題2.1

与えられた $x \in B _ l, y \in B _ {l'}$ に対して、 $\tilde{x},\tilde{y} \in \mathbb{Z} ^ {n+1}$ を上のように定めます。すると、次の1.,2.が成立します。
1. 全ての要素は非負です。ゆえに $\tilde{x} \in B _ l,\tilde{y} \in B _ {l'}$ です。
2. $R(x \otimes y) = \tilde{y} \otimes \tilde{x}$ によって、写像 $R:B _ l \otimes B _ {l'} \rightarrow B _ {l'} \otimes B _ l$ を定義します。すると、この写像は、 $\hat{sl} _ {n+1}$ crystalの組み合わせ $R$ となります。（すなわち、 $R(\tilde{e_i}(x \otimes y)) = \tilde{e_i}( R(x \otimes y)),　 R(\tilde{f_i}(x \otimes y)) = \tilde{f_i}( R(x \otimes y))$ が満たされます。）

この命題は、後述する組み合わせ $R$ に関するアルゴリズムを上の式(2.1)と等価であることを示すことで証明できます。
組み合わせ数 $R$ に関する式は、 $\sum _ {i=1} ^ {n+1} (x _ i - \tilde{x} _ i) =\sum _ {i=1} ^ {n+1} (y _ i - \tilde{y} _ i) = 0$ という条件の下で次の関係式によって特徴で付けられます。